Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов ( МНК) – способ, подходящий для решения тех или иных задач, в основе которого – минимизация суммы квадратов отклонений отдельных функций от обозначенных переменных. Это – базовый метод регрессионного анализа, который позволяет оценить неизвестные параметры регрессионной модели, исходя из выборочных данных.
.Где можно использовать МНК
- разрешить переопределённую систему уравнений (причём количество уравнений большечисла неизвестных),
- найти решение не переопределённой (обычной) нелинейной системы уравнений,
- аппроксимировать точечное значение отдельно взятой функции.
Благодаря МНК можно получить ОПТИМАЛЬНЫЕ оценки параметров уравнения регрессии, если при этом выполнены некоторые предпосылки, лежащие в основе метода, относительно случайного члена и независимой переменной.
ПРИМЕР.
Введём в соответствующее поле нашего калькулятора количество (n) пар (строк); пускай оно будет равно 2.
После этого зададим следующие значения X: 2 и 3 и Y: 5 и 11; сумма каждого при том – 5 и 16 соответственно.
Вычислим параметры уравнения линейного тренда, которое имеет вид
y=m×x+a
Найдём, что Y = –7, а m = 6.
Здесь: эмпирические коэффициенты тренда a–свободный член (в калькуляторе – Y–пересечение), а m– угловой коэффициент; оба они, к слову, представляются оценками теоретических коэффициентов.
Коэффициент тренда m (который в нашем примере равен 6) на деле показывает среднее изменение результирующей оценки у с изменением каждого периода времени t (в нашем примере –x).
Получается следующее: при увеличении x на 1 ед. показатель y преобразится примерно на 6 ед.
Уравнение тренда (линии –Y) принимает следующий вид:
y=6×x-7
Оно отражает общую тенденцию, прослеживающуюся в поведении означенных переменных. Это и есть искомый результат.Y